The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s(X), incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0, zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s(X), incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
s/0

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Types:
incr :: nil:cons → nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:0' → nil:cons → nil:cons
s :: s:0'
adx :: nil:cons → nil:cons
nats :: nil:cons
zeros :: nil:cons
0' :: s:0'
head :: nil:cons → s:0'
tail :: nil:cons → nil:cons
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
incr, adx, zeros

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr < adx

(8) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Types:
incr :: nil:cons → nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:0' → nil:cons → nil:cons
s :: s:0'
adx :: nil:cons → nil:cons
nats :: nil:cons
zeros :: nil:cons
0' :: s:0'
head :: nil:cons → s:0'
tail :: nil:cons → nil:cons
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
incr, adx, zeros

They will be analysed ascendingly in the following order:
incr < adx

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
incr(gen_nil:cons3_0(n5_0)) → gen_nil:cons3_0(n5_0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Induction Base:
incr(gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
incr(gen_nil:cons3_0(+(n5_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(s, incr(gen_nil:cons3_0(n5_0))) →_IH
cons(s, gen_nil:cons3_0(c6_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Types:
incr :: nil:cons → nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:0' → nil:cons → nil:cons
s :: s:0'
adx :: nil:cons → nil:cons
nats :: nil:cons
zeros :: nil:cons
0' :: s:0'
head :: nil:cons → s:0'
tail :: nil:cons → nil:cons
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
incr(gen_nil:cons3_0(n5_0)) → gen_nil:cons3_0(n5_0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
adx, zeros

(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
adx(gen_nil:cons3_0(n229_0)) → gen_nil:cons3_0(n229_0), rt ∈ Ω(1 + n229₀ + n229₀²)

Induction Base:
adx(gen_nil:cons3_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
adx(gen_nil:cons3_0(+(n229_0, 1))) →_R^Ω(1)
incr(cons(s, adx(gen_nil:cons3_0(n229_0)))) →_IH
incr(cons(s, gen_nil:cons3_0(c230_0))) →_L^{Ω(2 + n229₀)}
gen_nil:cons3_0(+(n229_0, 1))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(13) Complex Obligation (BEST)

(14) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Types:
incr :: nil:cons → nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:0' → nil:cons → nil:cons
s :: s:0'
adx :: nil:cons → nil:cons
nats :: nil:cons
zeros :: nil:cons
0' :: s:0'
head :: nil:cons → s:0'
tail :: nil:cons → nil:cons
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
incr(gen_nil:cons3_0(n5_0)) → gen_nil:cons3_0(n5_0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
adx(gen_nil:cons3_0(n229_0)) → gen_nil:cons3_0(n229_0), rt ∈ Ω(1 + n229₀ + n229₀²)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons3_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
zeros

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol zeros.

(16) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Types:
incr :: nil:cons → nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:0' → nil:cons → nil:cons
s :: s:0'
adx :: nil:cons → nil:cons
nats :: nil:cons
zeros :: nil:cons
0' :: s:0'
head :: nil:cons → s:0'
tail :: nil:cons → nil:cons
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
incr(gen_nil:cons3_0(n5_0)) → gen_nil:cons3_0(n5_0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
adx(gen_nil:cons3_0(n229_0)) → gen_nil:cons3_0(n229_0), rt ∈ Ω(1 + n229₀ + n229₀²)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
adx(gen_nil:cons3_0(n229_0)) → gen_nil:cons3_0(n229_0), rt ∈ Ω(1 + n229₀ + n229₀²)

(18) BOUNDS(n^2, INF)

(19) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Types:
incr :: nil:cons → nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:0' → nil:cons → nil:cons
s :: s:0'
adx :: nil:cons → nil:cons
nats :: nil:cons
zeros :: nil:cons
0' :: s:0'
head :: nil:cons → s:0'
tail :: nil:cons → nil:cons
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
incr(gen_nil:cons3_0(n5_0)) → gen_nil:cons3_0(n5_0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)
adx(gen_nil:cons3_0(n229_0)) → gen_nil:cons3_0(n229_0), rt ∈ Ω(1 + n229₀ + n229₀²)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(20) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
adx(gen_nil:cons3_0(n229_0)) → gen_nil:cons3_0(n229_0), rt ∈ Ω(1 + n229₀ + n229₀²)

(21) BOUNDS(n^2, INF)

(22) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
incr(nil) → nil
incr(cons(X, L)) → cons(s, incr(L))
adx(nil) → nil
adx(cons(X, L)) → incr(cons(X, adx(L)))
nats → adx(zeros)
zeros → cons(0', zeros)
head(cons(X, L)) → X
tail(cons(X, L)) → L

Types:
incr :: nil:cons → nil:cons
nil :: nil:cons
cons :: s:0' → nil:cons → nil:cons
s :: s:0'
adx :: nil:cons → nil:cons
nats :: nil:cons
zeros :: nil:cons
0' :: s:0'
head :: nil:cons → s:0'
tail :: nil:cons → nil:cons
hole_nil:cons1_0 :: nil:cons
hole_s:0'2_0 :: s:0'
gen_nil:cons3_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
incr(gen_nil:cons3_0(n5_0)) → gen_nil:cons3_0(n5_0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons3_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons3_0(+(x, 1)) ⇔ cons(s, gen_nil:cons3_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
incr(gen_nil:cons3_0(n5_0)) → gen_nil:cons3_0(n5_0), rt ∈ Ω(1 + n5₀)

(24) BOUNDS(n^1, INF)